偶函数性质妙用：巧解x<0时的函数表达式
ting ting
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8-9原野: 晓曼，我上学的时候最头疼一种数学题，就是那种告诉你一半的条件，让你去猜另一半。今天我们拿到的这个题就有点这个意思。
晓曼: 哈哈，这种题其实往往藏着解题的钥匙，就看你找不找得到。
原野: 好，那我们来看看。题目是这样的：有一个函数 f(x)，我们知道它是个偶函数。而且当 x 大于 0 的时候，它的表达式是 f(x) = x² + x。现在的问题是，当 x 小于 0 的时候，这个 f(x) 到底长什么样？
晓曼: 这题的钥匙其实题目已经直接给我们了，就是“偶函数”这三个字。偶函数最核心的特点就是它的对称性，它的图像是关于y轴对称的。换成公式语言，就是无论x是正还是负，f(-x) 永远等于 f(x)。
原野: 哦，f(-x) = f(x)，这个是关键。那我们具体要怎么用这个性质，来求 x 小于 0 的情况呢？
晓曼: 这就是最巧妙的地方。你想啊，当 x 是一个负数的时候，那 -x 是不是就是一个正数了？
原野: 嗯，对，-x 是正的。
晓曼: 那既然 -x 是个正数，我们是不是就可以把它代入到题目给的那个已知的，只适用于正数的表达式里去？
原野: 我明白了！你是说，因为 f(x) 等于 f(-x)，而当 x 是负数时，-x 是正数，所以我们可以直接计算 f(-x) 的值。也就是把 (-x) 代入 x² + x 里面，得到 (-x)² + (-x)。
晓曼: 正是如此。这一下就把未知的问题，转换成了我们已经有公式可以解决的问题。
原野: 那我算一下，(-x)² 就是 x²，再加上 (-x) 就是减 x。所以结果是 x² - x。这么说，当 x 小于 0 的时候，f(x) 的表达式就是 x² - x 了？
晓曼: 完全正确。你看，我们根本不需要任何复杂的计算，只是利用了偶函数的定义，就把函数在坐标轴一侧的形态，“镜像”到了另一侧。
原野: 也就是说，通过 f(-x) = f(x) 这个桥梁，我们成功地把 x 大于 0 时的表达式 x² + x，转换成了 x 小于 0 时的表达式 x² - x。这道题的答案就是 x² - x。
晓曼: 没错。所以你看，解这道题的关键点其实就几个：首先，记住偶函数的定义是 f(-x) = f(x)；其次，巧妙地利用变量替换，当 x 小于 0 时，-x 就是大于 0 的，这就让我们能使用已知的 x 0 时的表达式 x² + x；最后代入计算，f(x) 就等于 f(-x)，也就是 (-x)² + (-x)，最终得到 x² - x。这可以说是对偶函数性质的一次非常漂亮的妙用。